Лекция №8 часть 2

Линия и точка, принадлежащие поверхности. Пересечение поверхности плоскостью.  Конические сечения.

Для определения принадлежности точки и линии поверхности рассмотрим следующие  позиционные задачи:

Задача 1. Построение линии принадлежащей поверхности, если одна из проекций линии задана (рис. 8.17).

Дано: 1.Поверхность Ф , заданная проекциями каркаса состоящих из образующих линий l  и направляющей n. 2. Проекция линии m2, принадлежащей поверхности Ф.
		а) модель		б) эпюр
Рисунок 8.17. Линия на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Находим точки 1₂, 2₂, 3_2, 4₂ пересечения проекции линии m₂ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l¹₂,  l²₂,  l³₂,  l⁴₂ .

2. По линиям связи находим проекции точек 1₁, 2₁, 3₁, 4₁,  как точки лежащие на  проекциях образующих каркаса соответственно  l¹₁,  l²₁,  l³₁,  l⁴₁ и определяющих положение проекции линии т₁ на поверхности Ф.

Задача 2. По одной проекции точки, принадлежащей поверхности, найти точку на поверхности (рис. 8.18).

Дано: 1. Поверхность Ф , заданная проекциями каркаса состоящего из образующих l  и направляющих n. 2. Проекция точки К1, принадлежащей поверхности Ф.
		а) модель		б) эпюр
Рисунок 8.18. Точка на поверхности

Алгоритм решения задачи:

1. Через заданную проекцию точки К₁ проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии принадлежащей поверхности т₁.

2. Находим точки  1₁, 2₁, 3₁, 4₁, пересечения проекции линии m₁ с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий  l¹₁,  l²₁,  l³₁,  l⁴₁.

3. По линиям связи находим проекции точек 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ как точки лежащие на  проекциях образующих каркаса соответственноl¹₂,  l²₂,  l³₂,  l⁴₂   и определяющих положение проекции линии т₂ на поверхности Ф.

4. По линии связи находим положение проекции точки К₂, как точку принадлежащую вспомогательной линии т₂.

    В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения  позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая. Рассмотрим решение задачи  по определению линии пересечения сферы фронтально - проецирующей плоскостью α (рис.8.19).

		а) модель		б) эпюр
Рисунок 8.19. Пересечение сферы фронтально - проецирующей плоскостью

Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П₁ и П₃ в виде эллипса, а на плоскость П₂ в прямую линию ограниченную очерком сферы.

Охарактеризуем выбранные для построения точки:

· 1, 8-  две вершины эллипса, определяющие положение малой оси, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы, а горизонтальные проекции являются соответственно высшей и низшей точками сечения

· 2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П₃.

·  4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.

·  6, 7- Фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси  сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П₁.

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости на ней отмечаем точки 1₂…8₂.  Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β- горизонтальные плоскости уровня) . Например, через точки 2₂, 3₂ проведем  след плоскости β¹₂ , на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β¹ и сферы будет окружность m¹₁ , а точки 2₁ и 3₁ лежат на этой окружности по линии связи ( в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 1₁ и 8₁ , которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П₁. Построенные точки 1₁…8₁ соединим плавной кривой линией с учетом видимости.

Задача, когда сферу пересекает плоскость общего положения, например  заданная двумя пересекающимися прямыми α(h∩f) решается следующим образом:

	Рисунок 8.20. Пересечение сферы плоскостью общего положения

1. Произведем замену плоскостей проекций таким образом, чтобы плоскость α стала проецирующей, т.е. переведем плоскость общего положения в частное.  h – горизонталь, f- фронталь, чтобы перевести плоскость α в положение проецирующей плоскости необходимо выбрать новую плоскость проекций, либо перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, либо перпендикулярно фронтальной проекции фронталь – f₂ (рис.8.20).

2. Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче.

Рассмотрим еще один способ решения позиционной задачи по определению линии, пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α(h∩f) (рис.8.21).

		а) модель		б) эпюр
Рисунок 8.21. Пересечение параболоида вращения плоскостью общего положения

Сечение поверхности Ф плоскостью α(h∩f) и проекции этого сечения на плоскость, перпендикулярную оси i, являются кривыми, имеющими ось симметрии. Для доказательства этого утверждения проведем вспомогательную плоскость β, перпендикулярную оси i. Вспомогательная плоскость пересечет заданную поверхность по параллели p, фронтальная проекция которой p₂, совпадает со следом плоскости β₂, а горизонтальная проекция p₁- является окружностью. Линией пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью α(h∩f) является горизонталь h¹.

Параллель p и горизонталь h¹, находясь в одной плоскости β, пересекаются в точках 1 и 2, которые принадлежат искомой линии. Полученные точки симметричны друг другу относительно плоскости σ, перпендикулярной хорде 1-2 и проходящей через ее середину. Заметим, что плоскость σ, являясь множеством точек, равноудаленных от концов хорды 1 - 2, пройдет через ось i поверхности вращения, все точки которой также равноудалены от точек 1 и 2.

Очевидно, что для любой другой пары точек, расположенных на концах хорд других окружностей (но параллельных хорде 1-2), плоскость σ будет также являться плоскостью симметрии. Следовательно, кривая сечения поверхности вращения плоскостью α представляет собой кривую симметричную, осью симметрии которой служит линия пересечения плоскостей α и σ – прямая, пересекающая поверхность в точках 3 и 4 (линия наибольшего ската плоскости α проходящая через ось поверхности вращения).

Таким образом, используя вспомогательные горизонтальные секущие плоскости можно получить необходимое множество точек  для построения линии пересечения плоскости α и поверхности Ф, которой является эллипс. Поэтому для более точного построения необходимо учитывать точки, определяющие положение осей эллипса (3,4,5 и 6)

Однако, если не учитывать характерные точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения и высшую и низшую точки этой линии, построение будет неточным.

Точки, определяющие зону видимости- 7 и 8, расположены на главном меридиане поверхности. Для построения их, через главный меридиан проведем вспомогательную секущую плоскость γ, параллельную фронтальной плоскости проекций. Плоскость γ пересекает плоскость α по фронтали  f¹, которая, в свою очередь, находясь в одной плоскости с главным меридианом, пересекается с ним в искомых точках 7 и 8.

Высшая и низшая точки сечения - 3 и 4 находятся на линии наибольшего ската плоскости α, проходящей через ось поверхности Ф т.е. на прямой s. Эту прямую и меридиан поверхности, плоскость которого совпадает с прямой s, повернем вокруг оси i до положения s¹, когда прямая s и плоскость меридиана окажутся параллельными П₂. Отметим при этом, что точка К пересечения прямой s и осью i остается неподвижной, а вращаемый меридиан в итоге совместится с главным меридианом- очерком фронтальной проекции поверхности вращения. Отметим точки пересечения фронтальной проекции главного меридиана и повернутой прямой. Возвращая обратным поворотом прямую s с найденными точками в исходное положение, находим положение точек 3 и 4.

Соединив, полученные точки кривой с учетом видимости получим линию пересечения плоскости α с поверхностью Ф.

Построение линии пересечения цилиндра с плоскостью общего положения заданными следами подробно рассмотрено при объяснении решения графического задания "Цилиндр".

Рисунок 8.22. Конические сечения

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть (рис.8.22): эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка. Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс (рис.8.23) В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса. В частном случае (φ=900) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности (рис.8.24); и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конуса. Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола (рис.8.25). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.

		Рисунок 8.23. Эллипс			Рисунок 8.24. Окружность
		Рисунок 8.25. Парабола			Рисунок 8.26. Гипербола
			Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола (рис.8.26). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые (рис.8.27).
		Рисунок 8.27. Пересекающиеся прямые